题目描述

关于本题，前提是n个台阶会有一次n阶的跳法。分析如下:

f(1) = 1

f(2) = f(2-1) + f(2-2)         //f(2-2) 表示2阶一次跳2阶的次数。

f(3) = f(3-1) + f(3-2) + f(3-3) 

...

f(n) = f(n-1) + f(n-2) + f(n-3) + ... + f(n-(n-1)) + f(n-n) 

说明： 

1）这里的f(n) 代表的是n个台阶有一次1,2,...n阶的 跳法数。

2）n = 1时，只有1种跳法，f(1) = 1

3) n = 2时，会有两个跳得方式，一次1阶或者2阶，这回归到了问题（1） ，f(2) = f(2-1) + f(2-2) 

4) n = 3时，会有三种跳得方式，1阶、2阶、3阶，

    那么就是第一次跳出1阶后面剩下：f(3-1);第一次跳出2阶，剩下f(3-2)；第一次3阶，那么剩下f(3-3)

    因此结论是f(3) = f(3-1)+f(3-2)+f(3-3)

5) n = n时，会有n中跳的方式，1阶、2阶...n阶，得出结论：

    f(n) = f(n-1)+f(n-2)+...+f(n-(n-1)) + f(n-n) =>  f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(n-1)

6) 由以上已经是一种结论，但是为了简单，我们可以继续简化：

    f(n-1) = f(0) + f(1)+f(2)+f(3) + ... + f((n-1)-1) =  f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(n-2)

    f(n) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(n-2) +  f(n-1) = f(n-1) + f(n-1)

    可以得出：

    f(n) = 2*f(n-1)

7) 得出最终结论,在n阶台阶，一次有1、2、...n阶的跳的方式时，总得跳法为：

              | 1       ,(n=0 ) 

f(n) =     | 1       ,(n=1 )

              | 2*f(n-1),(n>=2)

public class Solution {
    public int JumpFloorII(int target) {
        if (target <= 0) {
            return -1;
        } else if (target == 1) {
            return 1;
        } else {
            return 2 * JumpFloorII(target - 1);
        }
    }
}

第二种思考方法：

【分析】  每个台阶可以看作一块木板，让青蛙跳上去，n个台阶就有n块木板，最后一块木板是青蛙到达的位子，  必须存在，其他 (n-1) 块木板可以任意选择是否存在，则每个木板有存在和不存在两种选择，(n-1) 块木板  就有 [2^(n-1)] 种跳法，可以直接得到结果。

其实我们所要求的序列为：1,2,4,8,16,……

所以除了第一位外，其他位的数都是前一位的数去乘以2所得到的积。

第三种思考方法：

根据上一个题目：青蛙只跳1或2可以得出是一个斐波那契问题，即a[n]=a[n-1]+a[n-2],那么能跳1,2,3个台阶时a[n]=a[n-1]+a[n-2]+a[n-3],......

依次类推，能推出本题的a[n]=a[n-1]+a[n-2]+......+a[1];由此得出代码：

class Solution {
public:
    int jumpFloorII(int number) {
        int *a=new int[number+1];
        a[0]=1;
        a[1]=1;
        for(int i=2;i<=number;i++){
            a[i]=0;
            for(int j=i-1;j>=0;j--){
                a[i]+=a[j];
            }
        }
        return a[number];
    }
};

但是上述代码时间复杂度达到O(n^2),空间复杂度也达到O(n),重新看一下上述结论：

a[n]=a[n-1]+a[n-2]+......+a[1];..........................①

a[n-1]=        a[n-2]+......+a[1];..........................②

两式相减可知：a[n]=2*a[n-1];

所以代码进一步简化：

class Solution {
public:
    int jumpFloorII(int number) {
        int f=1,fn=1;
        for(int i=2;i<=number;i++){
            fn=2*f;
            f=fn;
        }
        return fn;
    }
};

其他思路：
      （1）假定第一次跳的是一阶，那么剩下的是n-1个台阶，跳法是f(n-1)；假定第一次跳的是2阶，那么剩下的是n-2个台阶，跳法是f(n-2)；假定第一次跳的是3阶，那么剩下的是n-3个台阶，跳法是f(n-3)......假定第一次跳的是n-1阶，那么剩下的是1个台阶，跳法是f(1)；      假定第一次跳的是n阶，那么剩下的是0个台阶，跳法是1种；

（2）总跳法为: f(n) = 1+f(n-1) + f(n-2)+....+f(1)  （第一个1是跳n阶只有一种方法）

（3）根据（2）可以得出有一阶的时候 f(1) = 1 ；有两阶的时候可以有 f(2) =            1+f(1)=2；有三阶的时候可以有 f(3) = 1+f(2)+f(1)=4...依次内推，有n阶时f(n)=2^(n-1)。                      

为了加快运算速度，可以通过向左移移位来完成乘以2的工作：

class Solution{
public:
    int jumpFloorII(int number) {
        //通过移位计算2的次方
        return 1<<(number-1);        
    }
};

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