凯利公式，一生多赚几百万

——怕落后，来1分钟get技能！

第21期的1分钟，我们来聊聊赌局中的数学。

赌局假设：

假设有这样一个赌局，你赢的概率p是40%（当然输的概率就是q=1-p=60%），赢后的净赔率b是2（即你投1元钱，赢后不仅能拿回本金1元，还能获得2元钱的额外收益；净赔率=赔率-1），输了失去全部本金。

赌局玩法：

假设这个赌局可不断的重复玩下去，你每次都压手上全部资金的f（0<f≤1）比例押到下一局中。

问题来了：

请问，如果你手里的本金是10万元，这个f应该为多少，才能使得你在玩过多次赌局后，手里资金增长最快？

如果你不知道答案，请往下看。

1.Excel投资模拟器

针对上述问题，我用Excel做了一个投资模拟器的模型，如图：

图1：对赌局验证的Excel模型

A列为玩赌局的局数。B列为输赢概率区，用Excel的随机函数RAND，按40%概率出“1”，表示赌局“赢”；按60%概率出“-1”，表示赌局“输”。C到G列为投注区，表示每次分别拿出手上全部资金比例的5%、10%、20%、50%和100%，投注到下一次的赌局中。

图2： 玩500局之后资金情况

图2是你玩500局之后，手上资金的情况。可以看出，当f=10%的时候，手里资金增长最快，达到了2200多万；高于f=5%时的528万，f=20%时的43万，f=50%时的0，f=100%时的0。

2.凯利公式

在人的一生中，可能会经历多次这样的赌局（或者叫投资），同样的起点（本金都是10万），不同的结局。怎样确定最适合的下注比例，确保自己的资金增长的最快？

事实上，在62年前，就有一位名叫约翰·拉里·凯利的物理学家研究过类似问题，并给出了一个著名的凯利公式（对凯利公式的介绍可以自行百度）：

f =（pb-q）/ b

其中，f为现有资金应进行下次投注的比例；p为赢的概率，q为输的概率，b为净赔率。

回到本文开头的赌局中，赢的概率p=40%，输的概率q=60%，净赔率b=2。根据凯利公式，可以计算出，使得资金增长最大化的f的值，

f =（pb-q）/ b =（40％* 2-60％）/ 2 = 10％

与我们通过上面Excel投资模拟器得出的结论一致。

再举一例：文章1分钟get技能：原来如此！庄家通过这个数学公式，干着只赚不赔的生意的柯洁对战AlphaGo的例子，柯洁赢的概率是8.49%，输的概率是91.51%；柯洁胜的赔率是11，净赔率=赔率 -1=10。根据凯利公式，可以计算出，使得资金增长最大化的f 的值，

f =（pb-q）/ b =（8.49％* 10-91.51％）/ 10 =-6.61％

f小于0，表示没有合适的投注比例，意味着这个赌局不值得参与。

3*.凯利公式的详细推导（涉及高等数学知识，可跳过不读）

总结

（1）凯利公式的表达式为 f=（pb-q)/b，作用是用来计算是投资收益增长最快的投注比例。

（2）凯利公式应用场景是，只适用于牌桌赌博（及类似赌博的竞猜等），即输赢有一定的概率，输的情况下本金全部亏光。

（3）净赔率和赔率的关系是，净赔率=赔率-1，查看赔率的定义与运用，请查看文章1分钟get技能：如果你不懂概率、赔率和返还率，庄家迟早让你输成穷光蛋！

（4）如果你想获取投资模拟器Excel，欢迎到我的微信公众号“席友会“回复关键词‘’投资模拟器”或者数字“7”，我立刻发给你。

后记

一年前我就开始准备写这篇文章，但苦于一直没研究透凯里公式的复杂推导过程，文章数次搁浅。还好没放弃，琢磨到今天，皇天不负有心人，终于知道它是如何推导出来的了（正文第三部分就是我原创的推导过程），为自己的专研精神点个赞！O(∩_∩)O哈哈~